Misurare le performance attraverso l’indice di Modigliani
3/27/2020 2:37:12 PM
Tra le Risk Adjusted Performarce Measure (RAPM) l’indicatore più ripreso e modificato è sicuramente l’indice di Sharpe. Tra le sue trasformazioni più significative una in particolare, l’indice di Modigliani, permette di confrontare il rendimento di diversi strumenti parificandone il livello di rischio rispetto ad un benchmark comune.
L’indice di
Modigliani (o di Modigliani-Modigliani) è una trasformazione lineare dell’indice
di Sharpe. Esprime il rendimento che uno strumento avrebbe teoricamente
realizzato se avesse avuto la stessa volatilità del suo benchmark conservando
il proprio rapporto rendimento-rischio.
Analiticamente
è calcolato come segue:
dove:
R è la media semplice dei rendimenti passati del portafoglio;
σ é la volatilità storica dell’asset;
Rf è la media semplice dei rendimenti passati di un investimento al tasso risk-free;
σb é la volatilità storica dei rendimenti del benchmark di mercato;
SR é l’indice di Sharpe.
Il benchmark
tipicamente rappresenta il mercato di riferimento attribuendo all’indice un
valore di confronto semplice ed intuitivo. Se utilizziamo questo indicatore
nella valutazione comparata delle performance tra diversi strumenti, inoltre,
possiamo ignorare il secondo termine rappresentato dal rendimento risk free
ottenendo una definizione dell’indice data dalla semplice moltiplicazione
dell’indice di Sharpe per la volatilità del benchmark:
Posto un
piano rischio-rendimento l’indice di Modigliani è il livello di rendimento
ottenuto proiettando le coordinate dello strumento lungo la retta che lo unisce
con il risk-free fino alla standard deviation del benchmark, come rappresentato
nel grafico sottostante.
Questo
indicatore è particolarmente utile per rendere più semplice il confronto tra le
performance di strumenti aventi lo stesso benchmark ma livelli di rischio
differenti, o tra uno o più strumenti e il proprio benchmark. Essendo
semplicemente una trasformazione lineare dell’indice di Sharpe però i risultati
di tale confronto sono del tutto simili a quelli ottenuti tramite quest’ultimo,
anche se i valori conseguiti tramite l’indice di Modigliani sono più semplici
ed interpretabili.